Kare piramidal sayı

.

Anlamında olabildikleri aşağıdaki yılında bırakanların kuadratik piramidal numarayı.

Geçerlidir

${\ displaystyle \ operatorname {Pyr} _ {4} (n) = \ toplam _ {i = 1} ^ {n} i ^ {2} = 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2 } + 4 ^ {2} + \ ldots n ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} = {\ frac {2n ^ {3} + 3n ^ { 2} + n} {6}}}$

.

İlk ikinci dereceden piramidal sayılar

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, ... (dizi A000330 olarak OEIS )

Bazı yazarlar için sıfır, ikinci dereceden piramidal bir sayı değildir, bu nedenle sayıların dizisi yalnızca bir ile başlar.

İkinci dereceden piramidal sayıların üretme işlevi ,

${\ displaystyle {\ frac {x (x + 1)} {(x-1) ^ {4}}} = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} \ operatorname {Pyr} _ {4} ( n) x ^ {n} = \ mathbf {1} x + \ mathbf {5} x ^ {2} + \ mathbf {14} x ^ {3} + \ mathbf {30} x ^ {4} + \ mathbf {55} x ^ {5} + \ ldots}$

Geçerlidir

${\ displaystyle \ operatorname {Pyr} _ {4} (n) = {\ binom {n + 2} {3}} + {\ binom {n + 1} {3}}}$

ile binom katsayıları ve

${\ displaystyle \ operatorname {Pyr} _ {4} (n) = {\ frac {1} {4}} \ operatorname {Pyr} _ {3} (2n)}$

ile tetrahedral sayıların .

Buna ek olarak, birlikte oyunu bırakanların üçgen sayı:

${\ displaystyle \ operatorname {Pyr} _ {4} (n) = \ Delta _ {n} +2 \ operatorname {Pyr} _ {3} (n-1)}$

• Diğer piramidal sayılar , ör. B. tetrahedral sayılar .
• Ardışık iki ikinci dereceden piramidal sayının toplamı, sekiz yüzlü bir sayıdır .

${\ displaystyle \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {6} {n (n + 1) (2n + 1)}} = 18-24 \ ln (2) = 1 {,} 3644676665 \ ldots}$

  (Takip A159354 içinde OEIS )

Ardışık iki kare sayı arasındaki fark her zaman tek sayıdır. Daha doğrusu, -nci ve -nci kare sayıları arasındaki farkın olmasıdır. Bu, aşağıdaki şemayı verir:

${\ displaystyle {\ begin {array} {ccccccccccccccc} 0 && 1 && 4 && 9 && 16 && 25 & \ ldots & (n-1) ^ {2} && n ^ {2} \\ & 1 && 3 && 5 && 7 && 9 && \ ldots && 2n-1 & \ end {dizi}}}$

Dolayısıyla bir kare sayı tek sayıların toplamı olarak temsil edilebilir, yani geçerlidir . Bu toplam görüntüsü , şimdi , bir üçgen içinde düzenlenmiş bir tek sayılar kümesi aracılığıyla ilk kare sayıların toplamını görüntülemek için kullanılmaktadır . Üçgendeki tüm tek sayıların toplamı, ilk kare sayıların toplamına tam olarak karşılık gelir .

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcccccccc} \ scriptstyle 1 ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 &&&&&&& \\\ scriptstyle 2 ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & 3 &&&&&& \\\ scriptstyle 3 ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & 3 & 5 &&&&& \\\ scriptstyle 4 ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & 3 & 5 & 7 &&&& \\ \ scriptstyle 5 ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & 3 & 5 & 7 &&& \\\ vdots quad \ vline & \ vdots &&&&&& \ ddots && \\\ scriptstyle (n-1) ^ { 2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & \ cdots &&&& \ cdots & \ scriptstyle 2n-3 & \\\ scriptstyle n ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & \ cdots &&&& \ cdots & \ scriptstyle 2n-3 & \ scriptstyle 2n-1 \ end {dizi}}}$

Şimdi aynı tek sayıları, uyumlu bir üçgen oluşturmak için iki farklı şekilde düzenliyorsunuz.

${\ displaystyle {\ begin {array} {cccccccc} \ scriptstyle 2n-1 &&&&&& \\\ scriptstyle 2n-3 & \ scriptstyle 2n-3 &&&&& \\\ vdots && \ ddots &&&& \\ 9 & \ cdots & \ cdots & 9 &&&& \\ 7 & \ cdots & \ cdots & 7 & 7 &&& \\ 5 & \ cdots & \ cdots & 5 & 5 & 5 \\ 3 & \ cdots & \ cdots & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & \ cdots & \ cdots & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\ hline \ scriptstyle = n ^ {2} & \ scriptstyle = (n -1) ^ {2} & \ cdots & \ scriptstyle = 5 ^ {2} & \ scriptstyle = 4 ^ {2} & \ scriptstyle = 3 ^ {2} & \ scriptstyle = 2 ^ {2} & \ scriptstyle = 1 ^ {2} \ end {dizi}}}$

    

${\ displaystyle {\ begin {array} {cccccccc} 1 &&&&&&& \\ 3 & 1 &&&&&&& \\ 5 & 3 & 1 &&&&& \\ 7 & 5 & 3 & 1 &&&& \\ 9 & 7 & 5 & 3 &&& \\\ vdots &&&&& \ ddots & \ && \\\ script \ 2n-1 & \ scriptstyle 2n-3 &&&& \ cdots & 3 & 1 \\\ hline \ scriptstyle = n ^ {2} & \ scriptstyle = (n- 1) ^ {2} & \ cdots & \ scriptstyle = 5 ^ {2} & \ scriptstyle = 4 ^ {2} & \ scriptstyle = 3 ^ {2} & \ scriptstyle = 2 ^ {2} & \ scriptstyle = 1 ^ {2} \ end {dizi}}}$

Bu üçgenleri üst üste koyarsanız, üç sayıdan oluşan her sütunun toplamı her zaman sabittir ve böyle sütunlar vardır. Dolayısıyla, üç üçgenin tüm tek sayılarının toplamı, ilk kare sayıların toplamının tam olarak üç katıdır . Aşağıdakiler geçerlidir:

${\ displaystyle \ operatöradı {Pyr} _ {4} (n) = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}}}$

• Faulhaber formülü

• John H. Conway, Richard Guy: Sayılar Kitabı . Springer, 1996, ISBN 9780387979939 , s. 47–50 ( alıntı (Google) )

• Eric W. Weisstein : Kare Piramit Numarası . In: MathWorld (İngilizce).